à Patr Ice
Mon récent retour sur la 8e Bucolique de Virgile m'a fait me demander quelle était la somme des 14 premiers carrés, et c'est 1015.
C'est certainement quelque chose que j'avais calculé en 1995, lorsque j'avais découvert la remarquable relation des carrés de 10 à 14, mais 1015 ne m'évoquait rien alors.
Ce n'est qu'en 2010 qu'il m'est venu que le total des 16 tonalités BACHbach dans les deux cahiers du Clavier Bien Tempéré (CBT) était 1642 mesures, dont la section d'or est 1015.
Une remarquable possibilité de répartition des tonalités m'avait permis d'arriver à ce schéma, où les rapports dorés sont signifiés par les couleurs bleu/rouge :
Ce n'est qu'en 2023 que je me suis avisé que 1642 était le 11e terme de cette suite additive :
3-28-31-59-90-149-239-388-627-1015-1642-...
Il existe depuis 1950 une frénésie de recherches sur la signature B-A-C-H = 2-1-3-8, poussée au point que tous les nombres composés de ces chiffres sont jugés significatifs par certains, et cette suite est la seule dont deux termes consécutifs sont composés de tous ces chiffres, et dont les termes 1-2-3-8 sont des "nombres bachiens", 3-28-31-388 :
31-282-313-594-905-1496-2397-3888
Il est plutôt absurde d'imaginer Bach avoir conçu quelque chose d'aussi sophistiqué. Son époque ne connaissait que la suite de Fibonacci, et l'étude généralisée des suites additives n'a débuté qu'au 19e siècle.
C'est certainement quelque chose que j'avais calculé en 1995, lorsque j'avais découvert la remarquable relation des carrés de 10 à 14, mais 1015 ne m'évoquait rien alors.
Ce n'est qu'en 2010 qu'il m'est venu que le total des 16 tonalités BACHbach dans les deux cahiers du Clavier Bien Tempéré (CBT) était 1642 mesures, dont la section d'or est 1015.
Une remarquable possibilité de répartition des tonalités m'avait permis d'arriver à ce schéma, où les rapports dorés sont signifiés par les couleurs bleu/rouge :
Ce n'est qu'en 2023 que je me suis avisé que 1642 était le 11e terme de cette suite additive :
3-28-31-59-90-149-239-388-627-1015-1642-...
Il existe depuis 1950 une frénésie de recherches sur la signature B-A-C-H = 2-1-3-8, poussée au point que tous les nombres composés de ces chiffres sont jugés significatifs par certains, et cette suite est la seule dont deux termes consécutifs sont composés de tous ces chiffres, et dont les termes 1-2-3-8 sont des "nombres bachiens", 3-28-31-388 :
31-282-313-594-905-1496-2397-3888
Mais Bach était un génie, et les supputations de certains vont bien au-delà d'une habileté arithmétique qui n'aurait en soi rien d'inouï. Sans que ce soit pour moi une preuve, j'ai trouvé dans le CBT trois indices pouvant accréditer cette construction, détaillés ici :
- la seule succession de notes b-a-c-h dans tout le CBT est dans l'ordre inverse, h-c-a-b, notes 28 à 31 de l'alto de la première fugue du second cahier;
- les seuls préludes à reprises dans les deux cahiers sont encore dans cet ordre inverse (l'ordre direct nécessiterait un 3e cahier), et h1-c2-a2-B2 totalisent 194 mesures, 388 avec les reprises;
- la répartition des mesures parmi les 388 des tonalités BA.
Il est généralement admis que Bach a utilisé la somme 14 des lettres de son nom, et que ce n'est pas par hasard si son testament pour le clavier est l'Art de la fugue, en 14 contrepoints, avec en apothéose la quadruple fugue du contrepoint 14, dont l'un des thèmes débute par les notes b-a-c-h.
- la seule succession de notes b-a-c-h dans tout le CBT est dans l'ordre inverse, h-c-a-b, notes 28 à 31 de l'alto de la première fugue du second cahier;
- les seuls préludes à reprises dans les deux cahiers sont encore dans cet ordre inverse (l'ordre direct nécessiterait un 3e cahier), et h1-c2-a2-B2 totalisent 194 mesures, 388 avec les reprises;
- la répartition des mesures parmi les 388 des tonalités BA.
Il est généralement admis que Bach a utilisé la somme 14 des lettres de son nom, et que ce n'est pas par hasard si son testament pour le clavier est l'Art de la fugue, en 14 contrepoints, avec en apothéose la quadruple fugue du contrepoint 14, dont l'un des thèmes débute par les notes b-a-c-h.
J'ai déjà souligné que les deux diptyques immédiatement dorés parmi les 48 du CBT sont les numéros 14, 24-40 pour le CBT1, 43-70 pour le CBT2, en tout 177 mesures correspondant à la valeur du mot wohltemperirte, "bien tempéré", forgé par Bach, avec de plus les dernières syllabes correspondant aux préludes :
WOHL-TEM-PE-RIR-TE = 54+36+20+43+24 = 177.
Que 1015, somme des 14 premiers carrés, soit la section d'or de 1642, total des 16 tonalités BACHbach du CBT, peut amener à une nouvelle approche. La formule donnant la somme de n carrés était connue au temps de Bach, n(n+1)(2n+1)/6, avec d'ailleurs une curiosité. Le seul cas non trivial (n=1) où cette somme est un carré est pour n=24, où la somme est 4900, 70 au carré (5 fois 14).
A remarquer qu'il y a deux diptyques de 70 mesures parmi les 24 du CBT1 :
Ces diptyques sont aux rangs 6 et 18 dans le CBT1, somme 24, et les 6 premiers diptyques totalisent 576 mesures, le carré de 24 qu'il faut ajouter aux 23 premiers carrés pour obtenir 4900, carré de 70, et c'est ici 70 qu'il faut ajouter aux 5 premiers diptyques pour obtenir 576, carré de 24.
Il y a 4 autres 70 parmi les nombres de mesures unitaires des préludes (P1-7 et P2-12) ou des fugues (F2-7 et F2-14), ce qui en fait le nombre le plus représenté parmi les 144 du tableau ci-dessus.
J'avais étudié ici la "division sacrée", ou racine carrée de 2, proportion privilégiée par les Romains, dans le CBT. 70 y jouait un rôle important, en tant que nombre des colonnes de Pythagore, donnant les meilleures approximations successives de cette division sacrée, de même que la suite de Fibonacci pour la "divine proportion".
A remarquer que trois carrés sont immédiats dans le tableau, 36 pour P2-8, 64 pour PF1-14, et 100 pour F2-24. Ce sont les carrés des nombres 6-8-10, correspondant à un triangle de Pythagore.
Les P1 11, 9, et 13, forment un autre triplet pythagoricien, 18-24-30, avec 182 + 242 = 302 (P1-9 par exemple, car il y a 4 P1 de 24 mesures).
WOHL-TEM-PE-RIR-TE = 54+36+20+43+24 = 177.
Que 1015, somme des 14 premiers carrés, soit la section d'or de 1642, total des 16 tonalités BACHbach du CBT, peut amener à une nouvelle approche. La formule donnant la somme de n carrés était connue au temps de Bach, n(n+1)(2n+1)/6, avec d'ailleurs une curiosité. Le seul cas non trivial (n=1) où cette somme est un carré est pour n=24, où la somme est 4900, 70 au carré (5 fois 14).
A remarquer qu'il y a deux diptyques de 70 mesures parmi les 24 du CBT1 :
Ces diptyques sont aux rangs 6 et 18 dans le CBT1, somme 24, et les 6 premiers diptyques totalisent 576 mesures, le carré de 24 qu'il faut ajouter aux 23 premiers carrés pour obtenir 4900, carré de 70, et c'est ici 70 qu'il faut ajouter aux 5 premiers diptyques pour obtenir 576, carré de 24.
Il y a 4 autres 70 parmi les nombres de mesures unitaires des préludes (P1-7 et P2-12) ou des fugues (F2-7 et F2-14), ce qui en fait le nombre le plus représenté parmi les 144 du tableau ci-dessus.
J'avais étudié ici la "division sacrée", ou racine carrée de 2, proportion privilégiée par les Romains, dans le CBT. 70 y jouait un rôle important, en tant que nombre des colonnes de Pythagore, donnant les meilleures approximations successives de cette division sacrée, de même que la suite de Fibonacci pour la "divine proportion".
A remarquer que trois carrés sont immédiats dans le tableau, 36 pour P2-8, 64 pour PF1-14, et 100 pour F2-24. Ce sont les carrés des nombres 6-8-10, correspondant à un triangle de Pythagore.
Les P1 11, 9, et 13, forment un autre triplet pythagoricien, 18-24-30, avec 182 + 242 = 302 (P1-9 par exemple, car il y a 4 P1 de 24 mesures).
La tonalité complète 15 (PF1 + PF2) est remarquable en ce qu'elle compte 225 mesures, 152.
Une autre tonalité complète est aussi un carré, la 24, la dernière, avec 289 mesures, 172. Elle correspond à la dernière lettre du titre en 24 lettres choisi par Bach, R = 17.
15 et 24, je retombe par un chemin imprévu sur ce qui m'a ébahi quelques instants après avoir découvert que la section d'or des 1642 mesures des tonalités BACHbach des deux cahiers était la somme des 14 premiers carrés, 1015.
10 décembre, 4:46 du matin. J'avais interrompu hier l'écriture sur les lignes ci-dessus, procédant à quelques calculs par ailleurs. J'avais ainsi calculé le nombre de mesures des tonalités BACHbach du premier cahier, avec les reprises du prélude P1-24 en h, et trouvé 714, un nombre intéressant car produit des Fibos 21 et 34. Le rapport des tonalités 24 et 15 est 170/105 = 34/21 (et le rapport 24/15 = 8/5 est aussi Fibo).
Cette nuit, un péril menaçant dans un rêve m'a fait me réveiller vers 2 h, pas très pressé de me rendormir pour retrouver ce rêve. Repensant au calcul de la veille sur 714, je me suis demandé quel était le nombre de mesures des tonalités BACHbach du second cahier, avec les reprises des préludes en c-a-B, et ai trouvé 1122. Il m'est immédiat que 1122/714 se simplifie en 11/7, et ce rapport est loin de m'être inconnu.
C'est en effet le rapport entre la base et la hauteur de la pyramide de Khéops, 440 et 280 coudées. Certes ces mesures, établies récemment, étaient inconnues au temps de Bach, mais le rapport 11/7 a la propriété d'être la moitié de l'approximation de Pi attribuée à Archimède, 22/7. En conséquence le demi-périmètre de la pyramide divisé par la hauteur correspond à cette approximation, 3,14...
Alors les 819 mesures des Préludes du CBT1 représentent le produit de 3 nombres de Fibonacci, et les fugues complémentaires portent le total au produit des 3 nombres de Lucas correspondants.
La valeur 120 du thème BACH représente le produit de 3 nombres consécutifs de Fibonacci, et le thème en quinte complémentaire porte le total au produit des 3 nombres de Lucas correspondants.
Ce 120 du thème BACH est peut-être à rapprocher des 180 et 360 des préludes Bach des deux cahiers du CBT.
Je rappelle que le principe de la fugue impose l'apparition du thème à la quinte, et qu'il est presque toujours la transposition exacte du thème à la tonique, c'est-à-dire qu'aucune latitude n'est permise au compositeur s'il veut exprimer un rapport entre ces deux formes.
Je suis loin d'avoir exploré tous les thèmes de Bach, et un autre cas remarquable est celui de la fugue F2-21, en B, initiale de Bach, et son prélude fait donc partie de la série 360. Le thème à la tonique a 24 notes de valeur 96, 24 fois 4, idem à la quinte, de valeur 192, 24 fois 8. Détails ici.
Comme souvent, l'écriture de ce billet a été bouleversée par les découvertes en cours de rédaction, essentiellement celle du rapport 11/7 entre les tonalités BACHbach des deux cahiers du CBT, avec reprises.
Je comptais exploiter ma redécouverte de 1015 en tant que somme des 14 premiers carrés pour remarquer que 1015 et 1642 sont assez proches de 1000 et 1618, des nombres en principe idéaux pour exprimer le rapport Phi (1618/1000), et que Bach aurait pu imaginer un choix plus en rapport avec sa signature 14. Une allusion à la série 1000-1618 pourrait résider dans les deux premiers préludes du CBT2, en 34 et 56 mesures, conduisant à 34-56-90-146-236-382-618-1000-1618...
J'envisageais de rapprocher le rapport d'or des PF1 24 et 15 du cas des 12-13-14, où les 80 mesures du 12 sont la petite section d'or des 129 des 13+14. Ceci aurait pu être utilisé par Van Houten car Bach est né un 21 mars, 80e jour de l'année, et mort un 28 juillet, 209e jour (209 = 80+129).
Les tonalités concernées sont f-moll, Fis-dur, fis-moll, de valeurs 54+74+81 = 209.
Si dans le premier cahier les PF 13+14 sont en rapport d'or avec le précédent, dans le second cahier ils le sont avec le suivant 272/168 (avec les reprises). Il s'agit d'octuples de nombres de Fibonacci, 34 et 21, de même que les 24-40-64 du PF1 14, 3-5-8.
Il me manquait en 2011 104, 8 fois 13, je venais de le trouver avec les noms des tonalités 25 et 14,
h-moll G-dur = 56 + 48 = 104.
Je prévoyais quelques développements que je laisse de côté maintenant, car il y a bien des choses à dire sur le titre de cette étude.
Je n'avais aucune idée de titre en débutant le billet, mais juste après avoir trouvé le rapport 11/7 correspondant à base et hauteur de Khéops il m'est venu le titre ci-dessus, inspiré par une anagramme du regretté Patrice Besnard, dont une des spécialités était le stationnet, sonnet composé d'anagrammes de noms de stations du métro parisien. Son sonnet sur Palais Royal - Musée du Louvre s'achevait sur l'admirable
15 et 24, je retombe par un chemin imprévu sur ce qui m'a ébahi quelques instants après avoir découvert que la section d'or des 1642 mesures des tonalités BACHbach des deux cahiers était la somme des 14 premiers carrés, 1015.
La dernière tonalité est donc h, si mineur, très particulière dans le CBT1 car c'est la seule dont le prélude est à reprises (ce qui est indiqué par un nombre souligné dans le tableau). Les calculs donnés jusqu'ici n'ont pas tenu compte des reprises, et sans les reprises le diptyque PF1-24 est doré, 47/76 = 0,6184..., à moins d'un millième du nombre d'or, 0,6180...
Avec reprises, les 123 mesures passent à 170, et j'ai repéré il y a longtemps une étrange harmonie des PF1 correspondant aux 3 R du titre choisi par Bach, 65-105-170, soit 5 fois les Fibonacci 13-21-34.
En s'arrêtant à 105-170, il est remarquable que 105 soit la somme des 14 premiers nombres. Et c'est le diptyque 15 qui a 105 mesures, 15 section d'or de 24.
Ainsi, dans le premier cahier, la dernière tonalité BACHbach avec reprises a 170 mesures dont la section d'or est la somme des 14 premiers nombres, et dans l'ensemble des deux cahiers, les 16 tonalités BACHbach sans reprises totalisent 1642 mesures dont la section d'or est la somme des 14 premiers carrés.
Avec reprises, les 123 mesures passent à 170, et j'ai repéré il y a longtemps une étrange harmonie des PF1 correspondant aux 3 R du titre choisi par Bach, 65-105-170, soit 5 fois les Fibonacci 13-21-34.
En s'arrêtant à 105-170, il est remarquable que 105 soit la somme des 14 premiers nombres. Et c'est le diptyque 15 qui a 105 mesures, 15 section d'or de 24.
Ainsi, dans le premier cahier, la dernière tonalité BACHbach avec reprises a 170 mesures dont la section d'or est la somme des 14 premiers nombres, et dans l'ensemble des deux cahiers, les 16 tonalités BACHbach sans reprises totalisent 1642 mesures dont la section d'or est la somme des 14 premiers carrés.
10 décembre, 4:46 du matin. J'avais interrompu hier l'écriture sur les lignes ci-dessus, procédant à quelques calculs par ailleurs. J'avais ainsi calculé le nombre de mesures des tonalités BACHbach du premier cahier, avec les reprises du prélude P1-24 en h, et trouvé 714, un nombre intéressant car produit des Fibos 21 et 34. Le rapport des tonalités 24 et 15 est 170/105 = 34/21 (et le rapport 24/15 = 8/5 est aussi Fibo).
Cette nuit, un péril menaçant dans un rêve m'a fait me réveiller vers 2 h, pas très pressé de me rendormir pour retrouver ce rêve. Repensant au calcul de la veille sur 714, je me suis demandé quel était le nombre de mesures des tonalités BACHbach du second cahier, avec les reprises des préludes en c-a-B, et ai trouvé 1122. Il m'est immédiat que 1122/714 se simplifie en 11/7, et ce rapport est loin de m'être inconnu.
C'est en effet le rapport entre la base et la hauteur de la pyramide de Khéops, 440 et 280 coudées. Certes ces mesures, établies récemment, étaient inconnues au temps de Bach, mais le rapport 11/7 a la propriété d'être la moitié de l'approximation de Pi attribuée à Archimède, 22/7. En conséquence le demi-périmètre de la pyramide divisé par la hauteur correspond à cette approximation, 3,14...
A remarquer que le facteur commun à 1122 et 714 est 102, pouvant évoquer les cahiers 1 et 2. Faudrait-il alors doubler le 1122 du cahier 2 pour avoir 2244/714 = 3,14...
Les préludes à reprises du cahier 2 totalisent 147 mesures, celui du cahier 1 47, et 147/47 = 3,127..., approximation à 5 millièmes de Pi.
J'avais remarqué dans le Songe de Poliphile deux nombres, les 467 pages imprimées de la première édition de 1499, et la date donnée à la fin du texte pour son achèvement, le 1er mai 1467. Jongler avec ces nombres m'avait conduit à
1467 : 467 = 3,1413..., très proche de
pi = 3,1415...
De fait, si on cherche 2 nombres tels que leur différence soit 1000 et leur rapport aussi proche que possible de Pi, on trouve 1467 et 467.
J'écrivais ceci en 2017 en relation avec le film Pi, mais cette remarque était bien plus ancienne, et j'avais alors cherché deux nombres de différence 100 et de rapport aussi proche que possible de Pi, c'étaient 147 et 47.
A souligner que 714 et 147 sont composés des mêmes chiffres.
Mon allusion au rapport 1467/467 du billet de 2017 suivait un rappel du dernier plan du film, où le matheux auto-lobotomisé est incapable de résoudre la division de 748 par 238. C'est encore le rapport 22/7 dont les termes sont multipliés par 34, et ces nombres multipliés par 3 deviennent les 2244 et 714 de Bach.
Enfin c'est plutôt fantaisiste d'imaginer Bach s'être inspiré de Khéops ou du film Pi, mais des éditeurs sérieux proposent des articles ou des livres sur Bach du même niveau de loufoquerie. Je pense notamment à Bach et le nombre, où Van Houten et Kasberger entendent démontrer que Bach connaissait plus de 30 ans à l'avance le jour exact de sa mort, codé de multiples manières dans sa musique (c'est néanmoins un de mes livres de chevet, tant leurs trouvailles sont ingénieuses).
Bach's Numbers, de l'universitaire Ruth Tatlow, est réputé sérieux (et couronné par l'Académie). Comme moi, elle dissèque divers recueils, compte les mesures, avec ou sans reprises, avec une attention particulière pour les tonalités b-a-c-h. Ses résultats, étudiés ici, sont intéressants, mais entachés par un a priori, ne considérer que les rapports 1:1 et 1:2, et par quelques erreurs et manquements.
Alors qu'elle étudie à fond le premier cahier du CBT, elle n'a pas vu que les 8 premières fugues totalisent 423 mesures, les 16 autres 846, avec
8:16 = 423:846 = 1:2.
Et elle fait l'impasse sur le second cahier, alors que c'est une grande énigme que Bach, qui n'avait pas l'habitude de se répéter, eût réitéré 20 ans plus tard l'exercice de 1722. S'il y avait une architecture dans le premier, on peut s'attendre à en trouver une dans le second, sinon dans l'ensemble.
Alors quelles interprétations raisonnables peut-on envisager pour le rapport 11/7 des tonalités BACHbach entre les deux cahiers ?
L'option Pi est intéressante, le cercle étant souvent associé à la perfection divine. Selon Robert Langdon dans le dernier Dan Brown, le symbole le plus universel est le halo, le disque de lumière qui apparaît au-dessus de la tête d'un être éveillé.
La dénomination Pi date du début du 18e siècle, et je ne sais si elle était assez courante pour avoir été connue de Bach en 1722, toujours est-il qu'aux lettres P-I correspondent les rangs 15-9 dans l'alphabet prêté à Bach, somme 24, comme les 24 tonalités du CBT, comme les 24 lettres de cet alphabet. Le principe du CBT, succession des tonalités demi-ton par demi-ton, suggère l'idée de cycle, et la reprise à Do majeur après le si mineur final (ce pourrait être une raison pour le second cahier).
La Bible donne de Pi l'approximation grossière 3, et le 3e diptyque du CBT1 a 159 mesures, 15-9, P-I ? Bach aurait pu être séduit que l'approximation donnée par la formule 22/7 soit 3,14, ajoutant le chiffre de son nom à l'approximation biblique.
Je rappelle que c'est la relation d'or entre les diptyques 15 et 24 qui m'a mené à cette étude sur les tonalités BACHbach avec reprises. Pi et Phi (dont la désignation date du 19e siècle) sont deux nombres chéris des matheux et arithmologues, et il a été remarqué l'harmonie entre les approximations à 4 décimales de Pi et de Phi au carré,
3,1416 x 5= 2,6180 x 6.
Je ne sais si c'était connu au temps de Bach, mais ce n'est qu'une curiosité un peu plus immédiate que maintes autres jonglant avec les puissances de nombres irrationnels ou transcendants.
Comme souvent signalé, ma cervelle tourne à la sauce blanche, et j'ai été ahuri de retrouver que j'avais déjà étudié les tonalités BACHbach avec reprises en novembre 2024, y reprenant d'ailleurs des résultats publiés en 2011 sur mon ancien site. J'avais alors mis l'accent sur leur répartion Bach - bACH, comme suit :
C'était mis en parallèle avec les Inventions, lesquelles ne couvrent que 15 tonalités.
Le point essentiel était les préludes Bach, 180 mesures dans le premier cahier, 360, le double, dans le second, encore un résultat manqué par Ruth Tatlow.
Il me saute aux yeux maintenant que 360 évoque les 360° du cercle, 180 le demi-cercle. Mon évocation dans le billet signalé plus haut du film Pi en relation avec Le songe de Poliphile avait trait à l'acrostiche fameux de cet ouvrage, réparti, selon sa division en deux livres de 24 et 14 chapitres, en 24 et 14 lettres (nombres bachiens) :
POLIAM FRATER FRANCISCVS CO = 252 = 12 x 21
LVMNA PERAMAVIT = 156 = 12 x 13
La césure se fait sur les lettres CO, proches d'un demi-cercle et d'un cercle, de rangs 3-14 dans l'alphabet latin.
Je rappelle que les rapports entre les deux cahiers sont 11/7 pour l'ensemble, moitié de 3,14..., et 147/47 pour les préludes à reprises, proche de 3,14...
Je remarque aujourd'hui dans le tableau ci-dessus les préludes P1 en bACH, totalisant 102 mesures, septième des 714 mesures des PF1. En conséquence les 3 autres ensembles (240+182+190) totalisent 612 mesures, moyenne 204, double de 102. Il y a décidément beaucoup de doubles dans cette affaire.
Une autre approche serait de considérer 7 et 11 en tant que nombre de la suite de Lucas. Je ne sais si elle était connue au temps de Bach, mais les lois mathématiques préexistent à leurs découvertes, et les nombres de Lucas correspondent à la somme des puissances des deux solutions de l'équation du nombre d'or (x =(x+1)/x), Phi = 1,618... et phi = -0,618...:
L(n) = Phin + phin ,
Les préludes à reprises du cahier 2 totalisent 147 mesures, celui du cahier 1 47, et 147/47 = 3,127..., approximation à 5 millièmes de Pi.
J'avais remarqué dans le Songe de Poliphile deux nombres, les 467 pages imprimées de la première édition de 1499, et la date donnée à la fin du texte pour son achèvement, le 1er mai 1467. Jongler avec ces nombres m'avait conduit à
1467 : 467 = 3,1413..., très proche de
pi = 3,1415...
De fait, si on cherche 2 nombres tels que leur différence soit 1000 et leur rapport aussi proche que possible de Pi, on trouve 1467 et 467.
J'écrivais ceci en 2017 en relation avec le film Pi, mais cette remarque était bien plus ancienne, et j'avais alors cherché deux nombres de différence 100 et de rapport aussi proche que possible de Pi, c'étaient 147 et 47.
A souligner que 714 et 147 sont composés des mêmes chiffres.
Mon allusion au rapport 1467/467 du billet de 2017 suivait un rappel du dernier plan du film, où le matheux auto-lobotomisé est incapable de résoudre la division de 748 par 238. C'est encore le rapport 22/7 dont les termes sont multipliés par 34, et ces nombres multipliés par 3 deviennent les 2244 et 714 de Bach.
Enfin c'est plutôt fantaisiste d'imaginer Bach s'être inspiré de Khéops ou du film Pi, mais des éditeurs sérieux proposent des articles ou des livres sur Bach du même niveau de loufoquerie. Je pense notamment à Bach et le nombre, où Van Houten et Kasberger entendent démontrer que Bach connaissait plus de 30 ans à l'avance le jour exact de sa mort, codé de multiples manières dans sa musique (c'est néanmoins un de mes livres de chevet, tant leurs trouvailles sont ingénieuses).
Alors qu'elle étudie à fond le premier cahier du CBT, elle n'a pas vu que les 8 premières fugues totalisent 423 mesures, les 16 autres 846, avec
8:16 = 423:846 = 1:2.
Et elle fait l'impasse sur le second cahier, alors que c'est une grande énigme que Bach, qui n'avait pas l'habitude de se répéter, eût réitéré 20 ans plus tard l'exercice de 1722. S'il y avait une architecture dans le premier, on peut s'attendre à en trouver une dans le second, sinon dans l'ensemble.
Alors quelles interprétations raisonnables peut-on envisager pour le rapport 11/7 des tonalités BACHbach entre les deux cahiers ?
La dénomination Pi date du début du 18e siècle, et je ne sais si elle était assez courante pour avoir été connue de Bach en 1722, toujours est-il qu'aux lettres P-I correspondent les rangs 15-9 dans l'alphabet prêté à Bach, somme 24, comme les 24 tonalités du CBT, comme les 24 lettres de cet alphabet. Le principe du CBT, succession des tonalités demi-ton par demi-ton, suggère l'idée de cycle, et la reprise à Do majeur après le si mineur final (ce pourrait être une raison pour le second cahier).
La Bible donne de Pi l'approximation grossière 3, et le 3e diptyque du CBT1 a 159 mesures, 15-9, P-I ? Bach aurait pu être séduit que l'approximation donnée par la formule 22/7 soit 3,14, ajoutant le chiffre de son nom à l'approximation biblique.
Je rappelle que c'est la relation d'or entre les diptyques 15 et 24 qui m'a mené à cette étude sur les tonalités BACHbach avec reprises. Pi et Phi (dont la désignation date du 19e siècle) sont deux nombres chéris des matheux et arithmologues, et il a été remarqué l'harmonie entre les approximations à 4 décimales de Pi et de Phi au carré,
3,1416 x 5= 2,6180 x 6.
Je ne sais si c'était connu au temps de Bach, mais ce n'est qu'une curiosité un peu plus immédiate que maintes autres jonglant avec les puissances de nombres irrationnels ou transcendants.
Comme souvent signalé, ma cervelle tourne à la sauce blanche, et j'ai été ahuri de retrouver que j'avais déjà étudié les tonalités BACHbach avec reprises en novembre 2024, y reprenant d'ailleurs des résultats publiés en 2011 sur mon ancien site. J'avais alors mis l'accent sur leur répartion Bach - bACH, comme suit :
P1 P2 F1 F2 I1 I2
B 20 174 48 93 20 24
a 28 64 87 28 25 64
c 38 56 31 28 27 32
h 94 66 76 100 22 38
180 360 242 249 94 158 = 1283
b 24 83 75 101
A 24 33 54 29 21 31
C 35 34 27 83 22 21
H 19 46 34 104
102 196 190 317 43 52 = 900
2183B 20 174 48 93 20 24
a 28 64 87 28 25 64
c 38 56 31 28 27 32
h 94 66 76 100 22 38
180 360 242 249 94 158 = 1283
b 24 83 75 101
A 24 33 54 29 21 31
C 35 34 27 83 22 21
H 19 46 34 104
102 196 190 317 43 52 = 900
Le point essentiel était les préludes Bach, 180 mesures dans le premier cahier, 360, le double, dans le second, encore un résultat manqué par Ruth Tatlow.
Je rapprochais ces 180-360 des 1836 mesures de la totalité des 16
ensembles PF, mais n'avais pas vu
alors le rapport 11/7 entre les deux cahiers. A remarquer aussi que 360 peut se répartir en 120 (ac) et 240
(Bh).
Il me saute aux yeux maintenant que 360 évoque les 360° du cercle, 180 le demi-cercle. Mon évocation dans le billet signalé plus haut du film Pi en relation avec Le songe de Poliphile avait trait à l'acrostiche fameux de cet ouvrage, réparti, selon sa division en deux livres de 24 et 14 chapitres, en 24 et 14 lettres (nombres bachiens) :
POLIAM FRATER FRANCISCVS CO = 252 = 12 x 21
LVMNA PERAMAVIT = 156 = 12 x 13
La césure se fait sur les lettres CO, proches d'un demi-cercle et d'un cercle, de rangs 3-14 dans l'alphabet latin.
Je rappelle que les rapports entre les deux cahiers sont 11/7 pour l'ensemble, moitié de 3,14..., et 147/47 pour les préludes à reprises, proche de 3,14...
Je remarque aujourd'hui dans le tableau ci-dessus les préludes P1 en bACH, totalisant 102 mesures, septième des 714 mesures des PF1. En conséquence les 3 autres ensembles (240+182+190) totalisent 612 mesures, moyenne 204, double de 102. Il y a décidément beaucoup de doubles dans cette affaire.
Une autre approche serait de considérer 7 et 11 en tant que nombre de la suite de Lucas. Je ne sais si elle était connue au temps de Bach, mais les lois mathématiques préexistent à leurs découvertes, et les nombres de Lucas correspondent à la somme des puissances des deux solutions de l'équation du nombre d'or (x =(x+1)/x), Phi = 1,618... et phi = -0,618...:
L(n) = Phin + phin ,
phin devenant négligeable quand n croît.
La suite de Lucas se déduit par ailleurs fort simplement de la suite de Fibonacci,
L(n) = F(n-1) + F(n+1)
Un résultat sur le premier volume du CBT m'est apparu assez tardivement, je l'ai donné sur je ne sais plus quel billet de Quaternité. Il concerne les 819 mesures des P1 du CBT, et les 2088 des PF1.
En écrivant comme suit les suites de Fibonacci et Lucas, on voit de remarquables correspondances :
(1) 1 2 3 5 8 13 21 ...
1 3 4 7 11 18 29 ...
3 x 13 x 21 = 819
4 x 18 x 29 = 2088
3 x 5 x 8 = 120
4 x 7 x 11 = 308
Les deux dernières lignes résultent d'une fulgurance d'hier 10 décembre. Ça fait pourtant près de 30 ans que j'étudie Bach, et très spécialement l'apothéose que constitue l'apparition du thème BACH dans le 14e et dernier contrepoint de l'Art de la fugue. J'avais fait maints commentaires sur la valeur 120 des 10 notes de ce thème, celle 188 du thème en quinte, leur somme 308, et la somme 616 des 4 thèmes de l'exposition (correspondant notamment aux 616 mesures des 11 préludes à reprises du CBT).
Comme Van Houten l'a découvert et comme chacun peut le vérifier, cette exposition couvre 14 mesures, et s'achève à la 1685e mesure de l'Art de la fugue, 1685 date de naissance de Bach. Il supputait que cette fugue inachevée comportait ensuite dans l'esprit de Bach 65 mesures correspondant à ses années de vie...La suite de Lucas se déduit par ailleurs fort simplement de la suite de Fibonacci,
L(n) = F(n-1) + F(n+1)
Un résultat sur le premier volume du CBT m'est apparu assez tardivement, je l'ai donné sur je ne sais plus quel billet de Quaternité. Il concerne les 819 mesures des P1 du CBT, et les 2088 des PF1.
En écrivant comme suit les suites de Fibonacci et Lucas, on voit de remarquables correspondances :
(1) 1 2 3 5 8 13 21 ...
1 3 4 7 11 18 29 ...
3 x 13 x 21 = 819
4 x 18 x 29 = 2088
3 x 5 x 8 = 120
4 x 7 x 11 = 308
Les deux dernières lignes résultent d'une fulgurance d'hier 10 décembre. Ça fait pourtant près de 30 ans que j'étudie Bach, et très spécialement l'apothéose que constitue l'apparition du thème BACH dans le 14e et dernier contrepoint de l'Art de la fugue. J'avais fait maints commentaires sur la valeur 120 des 10 notes de ce thème, celle 188 du thème en quinte, leur somme 308, et la somme 616 des 4 thèmes de l'exposition (correspondant notamment aux 616 mesures des 11 préludes à reprises du CBT).
Alors les 819 mesures des Préludes du CBT1 représentent le produit de 3 nombres de Fibonacci, et les fugues complémentaires portent le total au produit des 3 nombres de Lucas correspondants.
La valeur 120 du thème BACH représente le produit de 3 nombres consécutifs de Fibonacci, et le thème en quinte complémentaire porte le total au produit des 3 nombres de Lucas correspondants.
Ce 120 du thème BACH est peut-être à rapprocher des 180 et 360 des préludes Bach des deux cahiers du CBT.
Je rappelle que le principe de la fugue impose l'apparition du thème à la quinte, et qu'il est presque toujours la transposition exacte du thème à la tonique, c'est-à-dire qu'aucune latitude n'est permise au compositeur s'il veut exprimer un rapport entre ces deux formes.
Je suis loin d'avoir exploré tous les thèmes de Bach, et un autre cas remarquable est celui de la fugue F2-21, en B, initiale de Bach, et son prélude fait donc partie de la série 360. Le thème à la tonique a 24 notes de valeur 96, 24 fois 4, idem à la quinte, de valeur 192, 24 fois 8. Détails ici.
Comme souvent, l'écriture de ce billet a été bouleversée par les découvertes en cours de rédaction, essentiellement celle du rapport 11/7 entre les tonalités BACHbach des deux cahiers du CBT, avec reprises.
Je comptais exploiter ma redécouverte de 1015 en tant que somme des 14 premiers carrés pour remarquer que 1015 et 1642 sont assez proches de 1000 et 1618, des nombres en principe idéaux pour exprimer le rapport Phi (1618/1000), et que Bach aurait pu imaginer un choix plus en rapport avec sa signature 14. Une allusion à la série 1000-1618 pourrait résider dans les deux premiers préludes du CBT2, en 34 et 56 mesures, conduisant à 34-56-90-146-236-382-618-1000-1618...
1015 et 1642 diffèrent de 15 et 24 de 1000 et 1618, ce qui m'aurait amené aux tonalités 15 et 24 auxquelles j'ai été conduit plus haut par un autre biais. Au passage, il me vient que 15 fois 24 font 360...
J'envisageais de rapprocher le rapport d'or des PF1 24 et 15 du cas des 12-13-14, où les 80 mesures du 12 sont la petite section d'or des 129 des 13+14. Ceci aurait pu être utilisé par Van Houten car Bach est né un 21 mars, 80e jour de l'année, et mort un 28 juillet, 209e jour (209 = 80+129).
Les tonalités concernées sont f-moll, Fis-dur, fis-moll, de valeurs 54+74+81 = 209.
Je pensais embrayer ensuite sur les tonalités correspondantes du second cahier, reprenant ce que j'écrivais ici en 2011.
Si dans le premier cahier les PF 13+14 sont en rapport d'or avec le précédent, dans le second cahier ils le sont avec le suivant 272/168 (avec les reprises). Il s'agit d'octuples de nombres de Fibonacci, 34 et 21, de même que les 24-40-64 du PF1 14, 3-5-8.
Il me manquait en 2011 104, 8 fois 13, je venais de le trouver avec les noms des tonalités 25 et 14,
h-moll G-dur = 56 + 48 = 104.
Je prévoyais quelques développements que je laisse de côté maintenant, car il y a bien des choses à dire sur le titre de cette étude.
Je n'avais aucune idée de titre en débutant le billet, mais juste après avoir trouvé le rapport 11/7 correspondant à base et hauteur de Khéops il m'est venu le titre ci-dessus, inspiré par une anagramme du regretté Patrice Besnard, dont une des spécialités était le stationnet, sonnet composé d'anagrammes de noms de stations du métro parisien. Son sonnet sur Palais Royal - Musée du Louvre s'achevait sur l'admirable
l'élu rose a voulu sa pyramide
La pyramide de P(e)i au Louvre est de même proportions que Khéops.
Il m'est donc aussitôt venu le Cantor a voulu sa pyramide, avec diverses variantes possibles, aurait au lieu de a, puisque c'est extrêmement hypothétique, Piramide puisqu'il serait question de Pi, mais lorsque j'ai passé la formule au Gématron le premier jet s'est avéré inamovible :
le17 Cantor71 a1 v[111]oulu[180]91 sa20 pyramide91 [291]
[Ce texte de 24 lettres a une somme gématrique de 291.]
Il y a donc 24 lettres, avec deux césures dorées le découpant en 14-10 ou 10-14.Les nombres concernés font de plus partie des relations dorées bachiennes relevées sur cette page de 2006.
Dans les deux tonalités de mi du CBT2, majeure et mineure, ou 9 et 10, on passe du simple au double, de 54-43 à 108-86, ce rapport se retrouvant jusque dans les reprises des Préludes en 24-30 et 48-60 mesures. Mi majeur, 97 mesures, vaut donc mi-mi mineur, 194 mesures.
Deux autres tonalités du CBT2 offrent un pareil doublement, 20 et 15 avec respectivement 60 et 120 mesures, et 60 et 120 sont en rapport d’or avec 97 et 194.
Les césures d'or de mon titre le répartissent en 10-4-10 lettres, or les diptyques 10 et 15 encadrent les 4 diptyques centraux du CBT, et la somme de leurs mesures est 194+120 = 314. J'avais songé à chercher ce nombre 314 par des combinaisons dans le CBT, et y avais renoncé.
Bien entendu, les deux autres diptyques 97 et 60 donnent 157, évoquant Pi/2, et l'ensemble donne 291 et 180, les nombres de mon titre.
Davantage, le nombre d'or a été évoqué à propos de Khéops, dont les hauteur et demi-base 280 et 220 mènent à un apothème de 356,089... (racine de la somme des carrés de ces nombres), avec 356,089 / 220 = 1,618590...
proche du nombre d'or 1,6180..., mais encore plus proche de
314 / 194 = 1,618556...
J'ai eu la curiosité de regarder ce que devenait mon titre en utilisant l'alphabet latin, et voici le résultat :
le16 Cantor67 a1 v[104]oulu[169]85 sa19 pyramide85 [273]
[Ce texte de 24 lettres a une somme gématrique de 273 dans le code que vous avez défini,
ne contenant que 25 lettres non nulles.]
J'ai signalé plus haut la répartition idéale des 1269 mesures des 24 fugues en 423 pour les 8 premières et 846 pour les 16 autres, et une répartition analogue apparaît pour les 819 mesures des préludes, avec 546 pour les 14 premiers, et 273 pour les 10 autres.
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